Question

20.如圖,點P為斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱BB₁上一點,PM⊥BB₁交AA₁于點M,PN⊥BB₁交CC₁于點N.

 　　 (1)求證：CC₁⊥MN；

　　  (2)在任意△DEF中有余弦定理：

　　　  DE²＝DF²＋EF²－2DF·EFcosDFE.

　　  拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側面面

積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式,并予以證明.

 

 

Answer 1

20.［證明］(1)∵CC₁∥BB₁,

  ∴CC₁⊥PM,CC₁⊥PN,且PM、PN相交于點P,

  ∴CC₁⊥平面PMN.                                   

  ∵MN平面PMN,∴CC₁⊥MN.                         

 ［解］(2)在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,有

  S＝S＋S－2SScosα.

  其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角.   

  ∵CC₁⊥平面PMN,

∴平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所組成的二面角為∠MNP.

在△PMN中,PM²＝PN²＋MN²－2PN·MNcosMNP,

PM²·CC＝PN²·CC＋MN²·CC－2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)    cosMNP, 由于S＝PN·CC₁,S＝MN·CC₁,S＝

PM·BB₁及CC₁＝BB₁,

則S＝S＋S－2SScosα.