Question

某廠生產某種產品的固定成本（固定投入）為2500元，已知每生產x件這樣的產品需要再增加可變成本C（x）=200x+

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x3（元），若生產出的產品都能以每件500元售出，要使利潤最大，該廠應生產多少件這種產品？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：先由題意建立利潤L（x）的函數關系式，然后利用導數求函數的最值．

解答：解：設該廠生產x件這種產品的利潤為L（x）元，則L(x)=500x-2500-C(x)=500x-2500-(200x+

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x3)
=300x-

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x3-2500，x∈N，則L′(x)=300-

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x2，則由L′(x)=300-

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x2=0，解得x=60（件）．
又當0≤x＜60時，L'（x）＞0，函數L（x）單調遞增，
當x＞60時，L'（x）＜0，函數L（x）單調遞減，
所以x=60是函數L（x）的極大值點，同時也是最大值點，所以當x=60時，L（x）=9500元．
因此，要使利潤最大，該廠應生產60件這種產品，最大利潤為9500元．

點評：本題的考點是利用導數解決生活中的優化問題，先建立函數關系，然后利用導數最值，要注意若函數在定義域內只有一個極值點，那么這個極值點也是最值點．