Question

已知曲線C上任意一點到直線的距離與它到點的距離之比是．   
（I）求曲線C的方程；
（II）設B為曲線C與y軸負半軸的交點，問：是否存在方向向量為的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點，使，且與夾角為60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，欲曲線C的方程，設P（x，y）為曲線C上任意一點，只須求出x，y之間的關系式即可，根據點到點的距離與到直線的距離的比值，可得點的坐標滿足的關系式，化簡即得；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在方向向量為的直線l，再設所求直線l：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得m值．若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y）為曲線C上任意一點，依題意（2分）
化簡：，
∴曲線C為橢圓，其方程為（4分）
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m，
由 消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0（6分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點G（x，y），
則，

=…（ 1）
依題意：，與夾角為60°，
∴△BMN為等邊三角形，
∴k_BG•k=-1，即，…（2）
由（2）代入（1）：，
又∵△BMN為等邊三角形，∴B到MN距離，
即解得：，m=1，
經檢驗，m=1使方程有解，所以直線l的方程為：（12分）
點評：本題主要考查了拋物線的定義的靈活應用，解決直線與圓錐曲線的相交的有關問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯立，得到關于應該未知數的方程，利用韋達定理來解決．