Question

公民在就業的第一年就交納養老儲備金a₁，以后每年交納的數目均比上一年增加d（d＞0），歷年所交納的儲備金數目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列．與此同時，國家給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利．如果固定年利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a₁（1+r）^n-1，第二年所交納的儲備金就變為a₂（1+r）^n-2，…以T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額．
求證：T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列．

Answer 1

分析：這是一個綜合考查數列性質的應用題，要求證T_n可以表示為A_n+B_n的形式，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列．我們要根據已知中T_n所表示的實際意義，根據T_n表示到第n年末所累計的儲備金總額，及儲備金總額的計算方法計算T_n，然后對其進行分解，并對分解結合等差數列等比數列的定義進行分析，不難臨到結果．

解答：解：T₁=a₁，對n≥2反復使用上述關系式，得
T_n=T_n-1（1+r）+a_n=T_n-2（1+r）²+a_n-1（1+r）+a_n═a₁（1+r）^n-1+a₂（1+r）^n-2++a_n-1（1+r）+a_n，①
在①式兩端同乘1+r，得（1+r）T_n=a₁（1+r）ⁿ+a₂（1+r）^n-1++a_n-1（1+r）²+a_n（1+r）②
②-①，得rT_n=a₁（1+r）ⁿ+d[（1+r）^n-1+（1+r）^n-2++（1+r）]-a_n=

d

r

[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an．
即Tn=

a1r+d

r2

(1+r)n-

d

r

n-

a1r+d

r2

．
如果記An=

a1r+d

r2

(1+r)n，Bn=-

a1r+d

r2

-

d

r

n，
則T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以

a1r+d

r2

(1+r)為首項，以1+r（r＞0）為公比的等比數列；
{B_n}是以-

a1r+d

r2

-

d

r

為首項，-

d

r

為公差的等差數列．

點評：判斷一個數列是否是等差（比）數列，我們有如下辦法：①定義法②通項公式法（如本題）③前n項和公式法④等差（比）中項法．