Question

A、B兩位同學各有五張卡片，現以投擲均勻硬幣的形式進行游戲，當出現正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片．規定擲硬幣的次數達9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止．設ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數．
（1）求ξ的取值范圍；
（2）求ξ的數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出硬幣正面出現的次數和出現反面的次數，根據題意列出不等式組，討論m，n取值不同時，得到的對應的ξ的值，結果ξ的可能取值是5，7，9
（2）ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數，由第一問知ξ的所有可能取值為：5，7，9．根據獨立重復試驗的概率公式得到變量對應的概率，做出ξ的數學期望．
解答：解：（1）設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，
則，
可得：當m=1，n=0或m=0，n=5時，ξ=5；
當m=6，n=1或m=1，n=6時，ξ=7；
當m=7，n=2或m=2，n=7時，ξ=9；
∴ξ的所有可能取值為：5，7，9．
（2）ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數，由題意知ξ的所有可能取值為：5，7，9．
根據獨立重復試驗的概率公式得到
P（ξ=5）=2×==；
P（ξ=7）=2=；
P（ξ=9）=1--=；
∴Eξ=5×+7×+9×=．
點評：本題考查離散型隨機變量的期望，考查獨立重復試驗的概率公式，考查分類討論思想，考查利用概率知識解決實際問題的能力，這種題目是近幾年高考題目中經常出現的題型．