Question

某地區(qū)共有100戶農(nóng)民從事蔬菜種植，據(jù)調(diào)查，每戶年均收入為3萬元．為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，當(dāng)?shù)卣�府決定動(dòng)員部分種植戶從事蔬菜加工．據(jù)估計(jì)，如果能動(dòng)員x（x＞0）戶農(nóng)民從事蔬菜加工，那么剩下從事蔬菜種植的農(nóng)民每戶年均收入有望提高2x%，從事蔬菜加工的農(nóng)民每戶年均收入為3(a-

3x

50

)（a＞0）萬元．
（1）在動(dòng)員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動(dòng)員前從事蔬菜種植的年總收入，試求x的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工農(nóng)民的年總收入始終不高于從事蔬菜種植農(nóng)民的年總收入，試求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：“從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動(dòng)員前從事蔬菜種植的年總收入”得到一個(gè)不等關(guān)系，列不等式
得x的取值范圍；
（2）問題先轉(zhuǎn)化成一個(gè)不等關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決．

解答：解：（1）由題意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
又因?yàn)閤＞0，所以0＜x≤50；（6分）
（2）從事蔬菜加工的農(nóng)民的年總收入為3(a-

3x

50

)x萬元，從事蔬菜種植農(nóng)民的年總收入為3（100-x）（1+2x%）萬元，
根據(jù)題意得，3(a-

3x

50

)x≤3（100-x）（1+2x%）恒成立，
即ax≤100+x+

x2

25

恒成立．
又x＞0，所以a≤

100

x

+

x

25

+1恒成立，
而

100

x

+

x

25

+1≥5（當(dāng)且僅當(dāng)x=50時(shí)取得等號(hào)），
所以a的最大值為5．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、恒成立問題的解法．求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是經(jīng)久不衰的話題，也是高考的熱點(diǎn)，它可以綜合地考查中學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法，體現(xiàn)知識(shí)的交匯．