Question

已知f(x)=

x+a	x2+(b-1)x+1

是定義在[-1，b]上的奇函數．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）用單調性定義證明：f（x）在[-1，b]上為單調遞增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f(x)=

x+a

x2+(b-1)x+1

是定義在[-1，b]上的奇函數，結合奇函數的定義，可得結論；
（Ⅱ）按照函數單調性的證題步驟，關鍵是作差變形．

解答：（Ⅰ）解：∵f(x)=

x+a

x2+(b-1)x+1

是定義在[-1，b]上的奇函數，
∴b=1，且

-x+a

x2-(b-1)x+1

=-

x+a

x2+(b-1)x+1

∴b=1，a=0；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f(x)=

x

x2+1

設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，∴

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0，
f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上為單調遞增函數．

點評：本題考查函數的單調性與奇偶性，考查單調性的證明，正確運用函數單調性的證明步驟是關鍵．