Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為棱AA₁和BB₁的中點，求異面直線CM與D₁N所成角的正弦值．

Answer 1

分析：建立如圖所示空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，算出

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1）．根據數量積公式與向量的夾角公式算出cos＜

CM

，

D1N

＞=-

1

9

，利用同角三角函數的基本關系算出sin＜

CM

，

D1N

＞=

4 5

9

，結合異面直線所成角的定義即可得到異面直線CM與D₁N所成角的正弦值．

解答：解：設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），
∴M（2，0，1），N（2，2，1）
可得

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1）．
∴

CM

•

D1N

=2×2+（-2）×2+1×（-1）=-1
cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

|CM| • |D1N|

=

-1

22+(-2)2+12 • 22+22+(-1)2

=-

1

9

，
結合＜

CM

，

D1N

＞∈[0，π]，
可得sin＜

CM

，

D1N

＞=

1-(- 1 9 )2

=

4 5

9

．
∵直線CM與D₁N所成角為直角或銳角，
∴CM與D₁N所成角的正弦值為

4 5

9

．

點評：本題給出正方體兩條棱的中點，求異面直線的所成角．著重考查了正方體的性質、利用空間向量研究異面直線所成角的大小等知識，屬于中檔題．