Question

已知：函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|
（I）求不等式f（x）≤2的解集
（II）對于任意的實數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上x對應(yīng)點到1和2對應(yīng)點距離之和，而 和在數(shù)軸上的對應(yīng)點到1和2對應(yīng)點的距離之和正好等于2，由此求得不等式f（x）≤2的解集．
（II）由題意可得的最小值大于或等于f（x），由絕對值不等式的性質(zhì)可得的最小值為2，故有 2≥f（x），由（I）可得它的解集．
解答：解：（I）函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上x對應(yīng)點到1和2對應(yīng)點距離之和，
而 和在數(shù)軸上的對應(yīng)點到1和2對應(yīng)點的距離之和正好等于2，故不等式f（x）≤2的解集為．
（II）對于任意的實數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，
故≥f（x）恒成立，故的最小值大于或等于f（x）．
由于≥=2，故有 2≥f（x），即|x-1|+|x-2|≤2．
由（I）可知，不等式f（x）≤2的解集為．
點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．