Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2+1

，對任意x₁，x₂∈R，恒有|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＜M，其中M是常數(shù)，則M的最小值是

 

．

Answer 1

分析：|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|的取值范圍等價(jià)于函數(shù)f（x）=

x2+1

切線斜率絕對值的取值范圍，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）切線斜率絕對值的取值范圍，從而求出所求．

解答：解：|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|的取值范圍等價(jià)于函數(shù)f（x）=

x2+1

切線斜率絕對值的取值范圍，
而f（x）=

x2+1

，
∴f′（x）=

x

x2+1

，
∴|f′（x）|=

|x|

x2+1

=

1

1+ 1 x2

≤1（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時取等號），
∴M≥1，M的最小值是1．
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了分析問題的能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．