Question

如圖，直角梯形ABCD中，BC∥AD，BA⊥AD，PA⊥面ABCD，E是PD的中點，過BC和點E的平面與PA交于點F，且PA=AB=BC=2，AD=4．
（1）求證：BC∥EF；
（2）求四邊形BCEF的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意可得BC∥面PAD，又∵BC?面BCEF，面BCEF∩面PAD=EF由線面平行的性質定理可得答案；
（2）由條件可得EF是△PAD的中位線，可得EF=

1

2

AD=2，進而可證四邊形BCEF是平行四邊形，再由條件結合線面垂直的判斷可得EF⊥面PAB，進而可得四邊形BCEF是矩形，在Rt△FAB中，可得FB，代入面積公式S_BCEF=EF•FB計算可得．

解答：（1）證明：∵BC∥AD，BC?面PAD，∴BC∥面PAD…（2分）
又∵BC?面BCEF，面BCEF∩面PAD=EF，∴BC∥EF…（4分）
（2）解：∵BC∥AD，BC∥EF，∴AD∥EF…（5分）
又∵E是PD的中點，∴EF是△PAD的中位線
∴F是PA的中點，且EF=

1

2

AD=2…（6分）
∴FA=

1

2

PA=1，EF=BC…（7分）
∴四邊形BCEF是平行四邊形                        …（8分）
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AB…（9分）
又∵BA⊥AD，BA∩PA=A，PA、BA?面PAB，∴AD⊥面PAB…（10分）
∵AD∥EF，∴EF⊥面PAB…（11分）
∵FB?面PAB，∴EF⊥FB，∴四邊形BCEF是矩形                             …（12分）
在Rt△FAB中，FB=

FA2+AB2

=

12+22

=

5

…（13分）
∴四邊形BCEF的面積為SBCEF=EF•FB=2

5

…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判斷和性質，涉及直線與平面垂直的判斷，屬中檔題．