Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長是

3

，在正方體表面上到點A的距離為2的點的軌跡形成的所有曲線的總長度是（　　）

• A．2π
• B．

  4 3

  3

  π
• C．

  5

  2

  π
• D．

  5 3

  3

  π

Answer 1

分析：本題首先要弄清楚曲線的形狀，再根據曲線的性質及解析幾何知識即可求出長度．

解答：解：由題意，此問題的實質是以A為球心、2為半徑的球在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個面上交線的長度計算，
正方體的各個面根據與球心位置關系分成兩類：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為

π

6

；
A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，
由于截面圓半徑為r=1，故各段弧圓心角為

π

2

．
∴這條曲線長度為3•

π

6

•2+3•

π

2

•1=

5

2

π
故選C．

點評：本題以正方體為載體，考查軌跡，考查曲線的周長，有一定的難度．