Question

若有窮數列{a_n} 滿足條件a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i=1，2，…，n），則稱數列{a_n} 為“對稱數列”．例如，數列1，2，3，2，1與數列4，2，1，1，2，4都是“對稱數列”．
（Ⅰ）設{b_n}是21項的“對稱數列”，其中b₁，b₂，…，b₁₁是等比數列，且b₂=2，b₅=16，求{b_n}的所有項的和S；
（Ⅱ）設{c_n}是22項的“對稱數列”，其中c₁₂，c₁₃，…，c₂₂是首項為22，公差為-2的等差數列，求{c_n}的前n項和T_n（1≤n≤22，n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出前11項構成的等比數列的公比，利用等比數列的前n項和公式求出前11項的和乘以2再減去第11項即得到{b_n}的所有項的和S．
（II）對n分段討論，當1≤n≤11時以22為第11項，公差為2的等差數列，利用等差數列的前n項和求出{c_n}的前n項和T_n，當12≤n≤22時，利用等差數列的前n項和求出前11項的和再加上以首項為22，公差為-2前n-11項的和
解答：解：（Ⅰ）設數列b_n的公比為q，則b₅=b₂q³=2q³=16，解得q=2，
S=b₁+b₂+..+b₂₁=2（b₁+b₂++b₁₁）-b₁₁=2（1+2+2²++2¹⁰）-2¹⁰=2（2¹¹-1）-2¹⁰=3070．（6分）
（Ⅱ）∵數列c_n是“對稱數列”，其中c₁₂，c₁₃，，c₂₂是首項為22，公差為-2的等差數列，
∴c₂₂=22-2×10=2，∴c₁，c₂，，c₁₁是首項為2，公差為2的等差數列．
當1≤n≤11時，T_n=c₁+c₂+…+c_n=，
當12≤n≤22時，T_n=c₁+c₂+..+c_n=T₁₁+（c₁₂+c₁₃++c_n）==-n²+45n-242，
綜上所述，（13分）
點評：求數列的前n項和關鍵是求出數列的通項，據數列通項的特點選擇合適的求和方法．