Question

已知數列{a_n}的通項a_n=2n-14．
（1）當n為何值時，前n項的和S_n有最小值，并求出這個最小值．
（2）數列{|a_n|}前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）易判斷該數列為等差數列，由a_n=2n-14可判斷各項的符號情況，根據各項正負可得S_n有最小值時的n值，利用等差數列求和公式可得最小值；
（2）分n≤6，n≥7兩種情況進行討論，去掉絕對值符號，然后根據等差數列的求和公式可求得T_n．

解答：解：（1）∵a_n+1-a_n=[2（n+1）-14]-（2n-14）=2，為常數，
∴{a_n}為公差為2的等差數列，
由a_n=2n-14≥0，得n≥7，
∴當n≤6時，a_n＜0，a₇=0，
∴前6項或前7項的和最小，S_n的最小值為S₆=S₇=-42；
（2）①當n≤6時，a_n＜0，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-a₁-a₂-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）
=-

n(-12+2n-14)

2

=-n²+13n；
②當n≥7時，a_n≥0，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-a₁-a₂-…-a₆+a₇+a₈+…+a_n
=-2（a₁+a₂+…+a₆）+a₁+a₂+…+a₆++a₇+a₈+…+a_n
=-2×

6(-12-2)

2

+

n(-12+2n-14)

2

=84+n²-13n=n²-13n+84，
∴Tn=

-n2+13n(n≤6) n2-13n+84(n≥7)

．

點評：本題考查等差數列的通項公式、數列求和，考查分類討論思想，解決（2）問的關鍵去掉各項的絕對值符號．