Question

設f（x）=x²-x+14，且|x-a|＜1，求證：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

Answer 1

分析：先利用函數f（x）的解析式，代入左邊的式子|f（x）-f（a）|中，再根據|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1，進行放縮即可證得結果．

解答：證明：由|f（x）-f（a）|=|x²-a²+a-x|=|（x-a）（x+a-1）|
=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1|=|（x-a）+2a-1|≤|x-a|+|2a|+1＜|2a|+2
=2（|a|+1）．
∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的性質，用放縮法證明不等式，體現了化歸的數學思想，屬于中檔題．