Question

已知函數f(x)=x²-1(x³1)的圖像是C₁，曲線C₂與C₁關于直線y=x對稱．

（1）求曲線C₂的方程y=g(x)；

（2）設函數y=g(x)的定義或為M，x₁，x₂ÎM，且x₁¹x₂．求證|g(x₁)-g(x₂)|<|x₁-x₂|；

（3）設A，B是曲線C₂上任意不同的兩點，證明直線AB與直線y=x必相交．

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：因為曲線C1和C2關于直線y=x對稱，所以y=g(x)是y=f(x)的反函數．由y=x2-1，得x2=y+1．而由x³1和y³0，從而(y³0)，故曲線C2的方程是(x³0)． （2）證明：由（1）知M={x|x³0}，設x1，x2ÎM，且x1¹x2，則有x1-x2>0，x1³0，x2³0，所以． 故|g(x1)-g(x2)|<|x1-x2|． （3）解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲線C2上任意不同兩點，x1，x2ÎM，且x1=x2，由（2）知．所以直線AB的斜率kAB¹1  又因為直線y=x的斜率為1，故直線AB與直線y=x必相交．