Question

給出下列四個命題：
①“直線a、b為異面直線”的充分非必要條件是“直線a、b不相交”．②“直線l⊥平面α內的所有直線”的充要條件是“l⊥α”．③“直線a⊥b”的充分非必要條件是“a垂直于b在平面α內的射影”．④設α⊥β，a?β，則“a∥β”的充分非必要條件是“a⊥α”．其中正確命題的序號是（　　）

A．①③

B．②③

C．②④

D．②③④

Answer 1

對于①，若“直線a、b為異面直線”必定有“直線a、b不相交”，
反過來，若“直線a、b不相交”則“直線a、b為異面直線或平行直線”，
因此應該是必要非充分條件，故①不正確；
對應②，線面垂直的定義：如果一條直線垂直于一個平面內的所有直線，
就稱這條直線與這個平面垂直．
根據這個定義可得“直線l⊥平面α內的所有直線”的充要條件是“l⊥α”，故②正確；
對于③，若“a垂直于b在平面α內的射影”不一定推出“直線a⊥b”，因為a不一定在平面α內，
反之，若“直線a⊥b，且a在平面α內”則必有“a垂直于b在平面α內的射影”，但a仍然不一定在平面α內，
說明是既不充分也不必要條件，故③不正確；
對于④，若“a⊥α”結合大前提“β⊥α”，說明“a∥β或a⊆β”成立，
而題意中有“a?β”，說明只有“a∥β”，由此得充分性成立．
反之，若“α⊥β，a?β”且“a∥β”有可能a平行于α、β的交線，不能得到“a⊥α”，沒有必要性
說明“a∥β”的充分非必要條件是“a⊥α”成立，故④正確．
故選C