Question

已知函數f（x）=

b-3x

3x+1+a

是定義在R上的奇函數．
（1）求a，b的值．（2）判斷函數f（x）的單調性并證明；
（3）若對任意t∈R，m∈[-1，1]，f（t²-2mt）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意，由于函數f（x）是定義在R上的奇函數，則有f（0）=0，f（1）=-f（-1），代入數據，計算可得a、b的值；
（2）首先對f（x）的表達式變形可得f（x）=

1

3

（

2

3x+1

-1），用作差法判斷函數單調性即可；
（3）由于f（x）是奇函數，f（t²-2mt）+f（2t²-k）＜0可以變形為f（t²-2mt）＜f（k-2t²），又由f（x）為減函數，進一步可以變形為t²-2mt＞k-2t²，即3t²-2mt-k＞0對任意的t∈R恒成立，由二次函數的性質，可得△=4m²+12k＜0，即-3k＞m2對于m∈[-1，1]恒成立，解可得答案．

解答：解：（1）因f（x）=

b-3x

3x+1+a

是定義在R上的奇函數，
則有f（0）=0，即

b-1

3+a

=0，解可得b=1；
又f（1）=-f（-1），即

1-3

9+a

=-

1- 1 3

1+a

，解可得a=3．
（2）由（1）可得，f（x）=

1-3x

3x+1+3

=

1

3

（

2

3x+1

-1）
設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

3

（

2

3x1+1

-

2

3x2+1

）=

2

3

（

3x2-3x1

(3x1+1)(3x2+1)

），
分析易得3x2＞3x1＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）是減函數；
（3）f（x）是奇函數，所以f（t²-2mt）＜f（k-2t²）
又由（1）得，f（x）=

1-3x

3x+1+3

=

1

3

（

2

3x+1

-1），且f（x）為減函數，
則t²-2mt＞k-2t²，即3t²-2mt-k＞0對任意的t∈R恒成立，
有△=4m²+12k＜0，即-3k＞m2對于m∈[-1，1]恒成立，
得-3k＞1，即k＜-

1

3

；
故k的取值范圍是k＜-

1

3

．

點評：本題綜合考查函數的性質，涉及函數的奇偶性、單調性的應用，解（3）的關鍵要靈活運用函數的有關性質，將問題轉化為不等式恒成立的問題．