Question

已知x₁＞0，x₁≠1且x_n+1=

xn(xn2+3)

3xn2+1

（n=1，2，…）試證：x_n＜x_n+1或x_n＞x_n+1（n=1，2，…）．

Answer 1

分析：由x₁＞0，x₁≠1且x_n+1=

xn(xn2+3)

3xn2+1

可知x_n＞0，所以可用作商比較．

解答：證明∵x₁＞0，x₁≠1且x_n+1=

xn(xn2+3)

3xn2+1

∴x_n＞0
又∵

xn+1

xn

=

xn2+3

3xn2+1

=

1

3

+

8 3

3xn2+1

在（0，ω）上是減函數(shù)
當(dāng)xn＞1時(shí)

xn+1

xn

＜ 1
∴x_n＞x_n+1
當(dāng)0＜xn＜1時(shí)

xn+1

xn

＞ 1
∴x_n＜x_n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，判斷時(shí)一般是用比較法．