Question

已知函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a∈R）．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）若a=4，y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點，求m的取值范圍（其中自然對數的底數e為無理數且e=2.271828…）

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數的定義域再求函數的導數，當導數大于0時函數單調遞增，當導數小于0時單調遞減．
（2）由a=4可根據（1）中所求確定函數的增減區間，求出函數的極小值和極大值即可得到答案．
解答：解：（I）函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx的定義域是（0，+∞）．
①當a≤0時，f'（x）≤0在（0，1]上恒成立，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≤0時，f（x）的增區間為[1，+∞），
f（x）的減區間為（0，1]
②當上恒成立，．
∴．
③當a=2時，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a=2時，f（x）的增區間為（0，+∞）．
④當上恒成立，，∴，．
（II）若a=4，由（I）可得f（x）在（0，1]上單調增，在[1，2]上單調減，在[2，+∞）上單調增．
∴f（x）_極小值=f（2）=4ln2-8，f（x）_極大值=f（1）=-5
∴y=f（x）的圖象與直線y=m有三個交點時m的取值范圍是（4ln2-8，-5）．
點評：本題主要考查通過求函數的導數來確定函數的單調區間的問題．