Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)是g（x），a+b+c=0，g（0）•g（1）＜0．設(shè)x₁，x₂是方程g（x）=0的兩根，則|x₁-x₂|的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由題意得：g（x）=3ax²+2bx+c，并且c=-a-b，因?yàn)間（0）•g（1）=c（3a+2b+c）＜0，所以可得：(

b

a

)2+3

b

a

+2＞0
解得：

b

a

＜-2或

b

a

＞-1．根據(jù)韋達(dá)定理可得：|x₁-x₂|=

2

3

[( b a )+ 3 2 ]2+ 3 4

≥

2

3

．

解答：解：由題意得：g（x）=3ax²+2bx+c
因?yàn)閍+b+c=0，所以c=-a-b，
又因?yàn)間（0）•g（1）=c（3a+2b+c）＜0
所以（a+b）（3a+2b-a-b）＞0，即整理可得：(

b

a

)2+3×

b

a

+2＞0 
解得：

b

a

＜-2或

b

a

＞-1．
因?yàn)閤₁，x₂是方程g（x）=3ax²+2bx+c=0的兩根
所以x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

=-

1

3

-

b

3a

．
所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

3

( b a )2+ 3× b a +3

因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

b

a

＜-2或

b

a

＞-1，
所以|x₁-x₂|=

2

3

[( b a )+ 3 2 ]2+ 3 4

≥

2

3

，
所以|x₁-x₂|的取值范圍為 [

2

3

，+∞）．
故答案為 [

2

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是正確的利用二次函數(shù)與一二次方程之間的關(guān)系結(jié)合著根與系數(shù)的關(guān)系表達(dá)出所求，再利用二次函數(shù)定區(qū)間上求最值的方法求解即可．