Question

如圖，在一條東西方向的海岸線上的點C處有一個原子能研究所，海岸線北側有一個小島，島上建有一個核電站，該島的一個端點A位于點C的正北方向4km處，另一個端點B位于點A北偏東30°方向，且與點A相距4.5km，研究所擬在點C正東方向海岸線上的P處建立一個核輻射監測站．
（1）設CP=x，∠APB=θ，試將tanθ表示成x的函數；
（2）若要求在監測站P處觀察全島所張的視角最大，問點P應選址何處？

Answer 1

【答案】分析：（1）分別以直線CP，CA為x，y軸建立直角坐標系，過點B分別作CP，CA的垂線，垂足為D，E．由題設AB=4.5，AC=，∠BAE=30°，從而可求出A，B的坐標，又點P（x，0），從而可得tanθ表示成x的函數
（2）令x+4=t，則，利用基本不等式，可求tanθ的最大值．
解答：解：（1）分別以直線CP，CA為x，y軸建立直角坐標系，過點B分別作CP，CA的垂線，垂足為D，E
由題設AB=4.5，AC=，∠BAE=30°，則CD=EB=4.5
BD=EC=AE+AC=
∴
又點P（x，0），則
所以當x＞0，且時，
當時，點P與點D重合，，滿足上式，
所以
（2）令x+4=t，則
∵，∴
當且僅當，即t=10
∴x=6時取等號，此時tanθ取最大值，θ取最大值．
答：點P應選址在點C正東方向6km處．
點評：本題以實際問題為載體，考查三角函數模型的構建，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是正確運用差角的正切公式及基本不等式．