Question

如圖，海岸線上的燈塔A、B相距50海里，且燈塔B位于燈塔A的正南方向．已知甲、乙兩艘輪船停泊于海上，其中甲船位于燈塔A的北偏西60°方向且與A相距50海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西30°方向且與B相距20

3

海里的C處．
（Ⅰ）求兩艘船之間的距離．
（Ⅱ）若甲船沿著AD方向以10海里/小時的速度行駛，同時乙船沿著BC方向以10

3

海里/小時的速度行駛，問兩艘船之間的距離何時最短？

Answer 1

分析：（Ⅰ）如圖設行駛t小時時，兩船所處的位置分別為M、N，且相距y海里一所示，延長BC交直線AD于D₁，可證得D₁與D重合，在△ABD中，利用正弦定理可求得CD；
（Ⅱ）設行駛t小時時，兩船所處的位置分別為M、N，且相距y海里，分當0≤t≤3與t＞3兩類討論，分別利用余弦定理可求得兩艘船之間的距離，利用二次函數的配方法即可求得兩艘船之間的距離何時最短．

解答：解：（Ⅰ）如圖一所示，延長BC交直線AD于D₁，
∵∠DAB=120°，∠ABC=30°
∴∠AD₁B=30°，
∴AD₁=AB=50，又AD=50，
∴D₁與D重合．---2分
在△ABD中，由正炫定理得，

BD

sin1200

=

AB

sin300

，
∴BD=50

3

．--4分
由∵BC=20

3

，
∴CD=30

3

---5分
（Ⅱ）設行駛t小時時，兩船所處的位置分別為M、N，且相距y海里．
（1）如圖二，當0≤t≤3時，甲船距D的距離為10t海里，乙船距D的距離為（30

3

-10

3

t）海里，則
y²=（10t）²+(30

3

-10

3

t)2-2×10t×（30

3

-10

3

t）×cos150°=300（t²-5t+9）．-----9分
（2）如圖三，當t＞3時，
y²=（10t）²+(30

3

-10

3

t)2-2×10t×（10

3

t-30

3

）×cos30°=300（t²-5t+9），
綜上，y²=300（t²-5t+9），（t∈R）；且y²=300(t-

5

2

)2+825，
所以當t=

5

2

，行駛2.5小時時，兩艘船之間的距離最短．--13分
答：（I）原來兩艘船之間的距離為30

3

海里；（II）行駛2.5小時時，兩艘船之間的距離最近．-----14分

點評：本題考查正弦定理與余弦定理，考查根據實際問題選擇函數類型，考查函數與方程思想與化歸思想的綜合運用，考查抽象思維能力與運算能力，屬于難題．