Question

16．某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r是瓶子的半徑，單位是cm．已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制做的瓶子的最大半徑為6cm．
問(wèn)題：瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最小？$（{V_球}=\frac{4}{3}π{r^3}）$．

Answer 1

分析 先確定利潤(rùn)函數(shù)，再利用求導(dǎo)的方法，即可得到結(jié)論．

解答 解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是y=f（r）=0.2×$\frac{4}{3}$πr³-0.8πr²=0.8π（$\frac{{r}^{3}}{3}$-r²），0＜r≤6
令f'（r）=0.8π（r²-2r）=0解得  r=2（r=0舍去）
當(dāng)r∈（0，2）時(shí)，f'（r）＜0；當(dāng)r∈（2，6）時(shí)，f'（r）＞0．
當(dāng)半徑r＞2時(shí)，f'（r）＞0它表示f（r）單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；
當(dāng)半徑r＜2時(shí)，f'（r）＜0它表示f（r）單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低．
（1）半徑為2cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)f（2）＜0，
表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值．
（2）半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的建立，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)的模型是解題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．