Question

研究表明：學生的接受能力依賴于老師持續講課所用的時間．上課開始時，學生興趣高，接受能力遞增，中間有一段時間學生的興趣不變，接受能力穩定在某個狀態，隨后學生的注意力開始分散，接受能力下降．分析結果和實驗表明：用f（x）表示學生的接受能力，x表示老師講課所用的時間（單位：分），可有以下的關系式：f(x)=

-0.1x2+2.6x+43，(0＜x≤10) 59，(10＜x≤16) -3x+107，(16＜x≤30).

（1）開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多少時間？
（2）一個數學難題，需要不低于55的接受能力，上課開始30分鐘內，問能達到該接受能力所要求的時間共有多少分鐘？

Answer 1

分析：（1）根據已知中的函數解析式，分析出函數的單調性，求出函數的最大值點，及取最大值時，自變量的取值范圍，可得答案．
（2）根據題意，構造不等式f（x）≥55，另外根據分段函數的解析式，分段討論后，綜合討論結果可得答案．

解答：解：（1）0＜x≤10時，有f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
對稱軸x=13在區間（0，10]右邊
故當0＜x≤10時，f（x）遞增，
最大值為f（10）=-0.1×（-3）²+59.9=59；
顯然，當16＜x≤30時，f（x）遞減，
f（x）＜-3×16+107=59．
因此，開講后10分鐘，學生達到最強的接受能力（值為59），并維持6分鐘…（6分）
（2）依題意，當0＜x≤10時，
令f（x）≥55，則（x-13）²≤49，
∴6≤x≤10；
當10＜x≤16時，f（x）=59符合要求；
當16＜x≤30時，令f（x）≥55，則x≤17

1

3

因此，學生不低于55的接受能力的時間共有17

1

3

-6=11

1

3

（分鐘）…（13分）

點評：本題考查的知識點是分段函數，分段函數分段處理是解答分段函數時，最常用的方法，它是分類討論思想在解答函數問題時的簡單應用．