Question

已知拋物線C:y²=2px(p>0)的焦點F和橢圓的右焦點重合,直線過點F交拋物線于A、B兩點.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線交y軸于點M,且,m、n是實數,對于直線,m+n是否為定值?
若是,求出m+n的值；否則,說明理由.

Answer 1

（1）；（2）－1

試題分析：（1）因為橢圓的右焦點為，又因為拋物線C:y²=2px(p>0)的焦點F為.即可求出的值，從而得到拋物線的方程.
（2）假設直線方程以及.聯立橢圓方程，消元得到一個關于x的一元二次方程，由韋達定理可得兩個等式.根據由向量的相等關系，可得到關于m,n的等式，結合韋達定理的等式，再運算m+n即可得到結論.
試題解析：(1)∵橢圓的右焦點，
∴，得，
∴拋物線C的方程為．
(2)由已知得直線的斜率一定存在，所以設：，與y軸交于，
設直線交拋物線于，
由 
∴，
又由 
即m=,同理,∴ 
所以,對任意的直線，m+ n為定值－1