Question

【題目】設函數y=4x3+ax2+bx+5在x= 與x=﹣1時有極值．
（1）寫出函數的解析式；
（2）指出函數的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=4x3+ax2+bx+5，

∴y′=12x2+2ax+b，

又∵函數y=4x3+ax2+bx+5在x= 與x=﹣1時有極值，

故x= 與x=﹣1為方程y′=12x2+2ax+b=0的兩個根，

由韋達定理得：

﹣1= =﹣ =- ， ×（﹣1）=- = ，

解得a=﹣3，b=﹣18，

故y=4x3﹣3x2﹣18x+5

（2）解：由（1）得y′=12x2﹣6x﹣18=6（2x﹣3）（x+1），

當x∈（﹣∞，﹣1）∪（ ，+∞）時，y′＞0，當x∈（﹣1， ）時，y′＜0，

故函數y=4x3﹣3x2﹣18x+5的單調調增區間為：（﹣∞，﹣1），（ ，+∞）；單調遞減區間為：（﹣1， ）．

【解析】（1）先求出函數的導函數f′（x），然后根據在x= 與x=﹣1時有極值，導數值為0，結合韋達定理可得a，b的值，進而得到函數的解析式；（2）分析導函數在定義域各個子區間上的符號，可得函數的單調區間．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)．