Question

（2004•黃岡模擬）已知

i

，

j

分別是x軸，y軸方向上的單位向量，

OA1

=

j

，

OA2

=10

j

，且

An-1An

=3

AnAn+1

(n=2，3，4，…)，在射線y=x（x≥0）上從下到上依次有點Bi=（i=1，2，3，…），

OB1

=3

i

+3

j

且|

Bn-1Bn

|=2

2

（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求

A4A5

；
（Ⅱ）求

OAn

，

OBn

；
（III）求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|是一個等比關系，故根據等比數列公式求其通項，從而求得結果；
（2）由題意（1）中數列的前n項和即為A_n的縱坐標，再由在射線y=x（x≥0）上依次有點B₁，B₂，…，B_n，…即可得出B_n的坐標；
（3）根據四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的幾何特征，把四邊形的面積分成兩個三角形的面積來求，求出面積的表達式，再作差S_n-S_n-1，確定其單調性，然后求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

An-1An

=3

AnAn+1

⇒

AnAn+1

=

1

3

An-1An

，
∴

A4A5

=

1

3

A3A4

=(

1

3

)2

A2A3

=(

1

3

)3

A1A2

=

1

27

(

OA2

-

OA1

)=

1

3

J

．(3分)
（II）由（1）知

AnAn+1

=

1

3n-1

A1A2

=

1

3n-3

j

，

OAn = OA1 + A1A2 +… An-1An = j + A1A2 +…+ An-1An

=

j

+9

j

+3

j

+…+

1

3n-3

j

=

j

+

9[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

j

=

29-( 1 3 )n-4

2

j

．(6分)
∵|

Bn-1Bn

|=2

2

且Bn-1，Bn均在射線y=x（x≥0）上，
∴

Bn-1Bn

=2

i

+2

j

．∴

OBn

=

OB1

+

B1B2

+

B2B3

+…+

Bn-1Bn

=3i+3

j

+(n-1)(2

i

+2

j

)
（III）∵|

AnAn+1

|=

1

3n-3

，△AnAn+1Bn+1的底面邊AnAn+1的高為h1=2n+3．
又|

BnBn+1

|=2

2

，An(0，

29-( 1 3 )n-4

2

)到直線y=x的距離為h2=

29-( 1 3 )n-4

2 2

．
∴S_n=

1

2

•(2n+3)•

1

3n-3

+

1

2

•2

2

•

29-( 1 3 )n-4

2 2

=

29

2

+

n

3n-3

，（10分）
而S_n-S_n-1=

n

3n-3

-

n-1

3n-4

=

-2n+3

3n-3

＜0，
∴S₁＞S₂＞…＞S_n＞…
∴S_max=S₁=

29

2

+

1

3-2

=

29

2

+9=

47

2

.（12分）

點評：本題是一個數列應用題，也是等差等比數列的一個綜合題，本題有著一個幾何背景，需要做正確的轉化和歸納，才能探究出正確的解決方法．本題是個難題，比較抽象．