Question

12件產品，其中有5件一等品，4件二等品，3件三等品，從中取6件，使得
（1）至多兩件一等品，共有幾種取法？
（2）恰好包括兩種等別的產品，有幾種取法？（列式并計算）

Answer 1

解：（1）由題意知本題是一個排列組合實際應用，
至多有2件一等品包括有兩件一等品和有一件一等品和沒有一等品，
共有C₅¹C₇⁵+C₅²C₇⁴+C₇⁶=451種結果．
（2）恰好包括兩種等別的產品包括三種情況，即包括二級和一級；包括二級和三級，包括一級和三級，
當包括一級和二級，共有C₅²C₄⁴+C₅³C₄³+C₅⁴C₄²+C₅⁵C₄¹=84種結果，
當包含一級和三級時，共有C₃³C₅³+C₃²C₅⁴+C₃¹C₅⁵=28種結果，
當包含二級和三級時共有C₄⁴C₃²+C₄³C₃³=7種結果，
由分類計數原理知共有84+28+7=119種結果，
答：至多兩件一等品，共有451種取法
恰好包括兩種等別的產品，有119種取法．
分析：（1）本題是一個排列組合實際應用，至多有2件一等品包括有兩件一等品和有一件一等品和沒有一等品，寫出排列數，用分類加法得到結果．
（2）恰好包括兩種等別的產品包括三種情況，即包括二級和一級；包括二級和三級，包括一級和三級，當包括一級和二級，共有C₅²C₄⁴+C₅³C₄³+C₅⁴C₄²+C₅⁵C₄¹，當包含一級和三級時，共有C₃³C₅³+C₃²C₅⁴+C₃¹C₅⁵，當包含二級和三級時共有C₄⁴C₃²+C₄³C₃³，相加得到結果．
點評：本題考查排列組合的實際應用，本題包括在排列組合中可能出現的所有的情況，是一個比較全面的題目，本題解題的關鍵是看出所選的包括兩個級別的產品的所有情況，本題是一個中檔題目．