Question

已知函數f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（I）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設a＞0，證明：當0＜x＜時，f（+x）＞f（-x）；
（Ⅲ）若函數y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x，證明：f′（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導，并判斷導數的符號，確定函數的單調區間；（II）構造函數g（x）=f（+x）-f（-x），利用導數求函數g（x）當0＜x＜時的最小值大于零即可，（III）設出函數y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點的橫坐標，根據（I）．（II）結論，即可證明結論．
解答：解：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）==-，
①若a＞0，則由f′（x）=0，得x=，且當x∈（0，）時，f′（x）＞0，
當x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）單調遞增，在（，+∞）上單調遞減；
②當a≤0時，f（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）單調遞增；
（II）設函數g（x）=f（+x）-f（-x），則g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，
g′（x）==，
當x∈（0，）時，g′（x）＞0，而g（0）=0，
所以g（x）＞0，
故當0＜x＜時，f（+x）＞f（-x）；
（III）由（I）可得，當a≤0時，函數y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點，
故a＞0，從而f（x）的最大值為f（），且f（）＞0，
不妨設A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，
則0＜x₁＜＜x₂，
由（II）得，f（-x₁）=f（）＞f（x₁）=f（x₂）=0，
又f（x）在（，+∞）單調遞減，
∴-x₁＜x₂，于是x=，
由（I）知，f′（ x）＜0．
點評：此題是個難題．考查利用導數研究函數的單調性和求函數的最值問題，體現了分類討論和轉化的思想方法．考查了學生觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．