Question

數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意n∈N*，總有2S_n=a_n²+a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設正數數列{c_n}滿足a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，（n∈N^*），求數列{c_n}中的最大項；

Answer 1

解：（1）由已知：對于n∈N^*，總有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2）②
①②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均為正數，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴數列{a_n}是公差為1的等差數列又n=1時，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1．
∴a_n=n．
（2）解：由已知，，

易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞猜想n≥2時，{c_n}是遞減數列．
令
∵當x≥3時，lnx＞1，則1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）內f（x）為單調遞減函數．
由．
∴n≥2時，{lnc_n}是遞減數列．即{c_n}是遞減數列．
又c₁＜c₂，∴數列{c_n}中的最大項為．
分析：（1）由已知可得2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2從而導出a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均為正數，所以a_n-a_n-1=1（n≥2），由此推出a_n=n．
（2）由題設條件易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞猜想n≥2時，{c_n}是遞減數列．令，能夠推出在[3，+∞）內f（x）為單調遞減函數．由．由此能夠推出數列{c_n}中的最大項為．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意計算能力的培養．