Question

不等式選講
設x，y，z為正數，證明：2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）．

Answer 1

【答案】分析：先將2（x³+y³+z³）分解成（x³+y³）+（z³+x³）+（y³+z³），再對每一組利用基本不等式進行放縮即得．
解答：證明：因為x²+y²≥2xy≥0（2分）
所以x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）≥xy（x+y）（4分）
同理y³+z³≥yz（y+z），z³+x³≥zx（z+x）（8分）
三式相加即可得2（x³+y³+z³）≥xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）
又因為xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）=x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）
所以2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）
點評：本題主要考查不等式的證明，從已知條件出發，利用定義、公理、定理、某些已經證明過的不等式及不等式的性質經過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．