Question

14．對于實數a，b，定義運算“*”：$a*b=\left\{\begin{array}{l}{a^2}-ab\;，\;\;a≤b\\{b^2}-ab\;，\;\;a＞b\end{array}\right.$，設f（x）=2x*（x+1），且關于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互相等的實數根，則m的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0）．

Answer 1

分析 根據題意確定函數的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x，x≤1}\\{1-{x}^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，畫出函數的圖象從圖象上觀察當關于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根時m的取值范圍．

解答 解：由 2x≤x+1 可得 x≤1，由 2x＞x+1 可得 x＞1．
∴根據題意得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2x，x≤1}\\{1-{x}^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，
根據函數的極大值為f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，關于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互相等的實數根，
可得m的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0），
故答案為（-$\frac{1}{4}$，0）．

點評 本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．