Question

如圖，設(shè)同底的兩個(gè)正三棱錐P-ABC和Q-ABC 內(nèi)接于同一個(gè)球O．若正三棱錐P-ABC的側(cè)面與底面所成的角為 45°，則正三棱錐Q-ABC的側(cè)面與底面所成角的正切值是________．

Answer 1

4
分析：取AB的中點(diǎn)M，連接PM，QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，故∠PMC是側(cè)面PAB與底面所成二面角的平面角，∠QMC是側(cè)面QAB與底面所成二面角的平面角，由此可得結(jié)論．
解答：如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接PM，QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB
∴∠PMC是側(cè)面PAB與底面所成二面角的平面角，∠QMC是側(cè)面QAB與底面所成二面角的平面角，
∴∠PMC=45°，
設(shè)PR=h，OP=R，則MR=h，OR=R-h，
∴R²=4h²+（R-h）²，
∴R=2.5h
∴QR=4h
∵M(jìn)R=h
∴正三棱錐Q-ABC的側(cè)面與底面所成角的正切值是=4
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出面面角是關(guān)鍵，屬于中檔題．