Question

（本題滿分12分）

某種項目的射擊比賽，開始時選手在距離目標100m處射擊，若命中則記3分，且停止射擊．若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但需在距離目標150m處，這時命中目標記2分，且停止射擊．若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時需在距離目標200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊．若三次都未命中則記0分，并停止射擊．已知選手甲的命中率與目標的距離的平方成反比，他在100m處擊中目標的概率為，且各次射擊都相互獨立．

（Ⅰ）求選手甲在三次射擊中命中目標的概率；

（Ⅱ）設選手甲在比賽中的得分為，求的分布列和數學期望．   

 

 

 

Answer 1

解：記選手甲第一、二、三次射擊命中目標分別為事件、、，三次均未擊中目標為事件，則．

設選手甲在m處擊中目標的概率為，則．由m時，得，∴，．

∴．  ……4分

（Ⅰ）由于各次射擊都是相互獨立的，所以選手甲在三次射擊中擊中目標的概率為．                    ……7分

（Ⅱ）由題設知，的可取值為．

，，，．

∴的分布列為

	0	1	2	3

數學期望為．                                       ……12分