Question

已知f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常數，a∈R
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）是否存在實數a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）把a=1代入原函數，求出其導函數，即可求f（x）的單調性、極值；
（II）先求出其導函數，通過分類討論分別求出導數為0的根，以及單調性和極值，再與f（x）的最小值是3相結合，即可得出結論．

解答：解：（I）當a=1時，f（x）=x-lnx，
則 f/(x)=1-

1

x

=

x-1

x

（1分）
f/(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0且x∈（0，e]得x∈[1，e）單調遞增；（3分）
f/(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＜0且x∈（0，e]得x∈（0，1）單調遞減；（5分）
當x=1時取到極小值1；（6分）
（II） f/(x)=

ax-1

x

（7分）
①當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調遞減f（e）＜0，與題意不符；（9分）
②當a＞0時，f′（x）=0的根為

1

a

當 0＜

1

a

＜e時，f(x)在x∈(0，

1

a

)上單調遞減，在(

1

a

，e)上單調遞增f(x)min=f(

1

a

)=1-ln

1

a

=3，解得a=e²（12分）
③當

1

a

≥e時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調遞減f（e）＜0，與題意不符；（14分）
綜上所述a=e²（15分）

點評：本題主要考查導數的應用．導數一般應用在求切線的斜率極其方程，求函數的單調區間以及極值，和求在某個區間上的最值問題上．導數的應用是高考考查的重點，須重視．