Question

已知f（x）為二次函數，且f（-1）=2，f′（0）=0，∫¹f（x）dx=-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用待定系數法設出二次函數，根據條件建立三個方程，求出參數即可．
（2）本題是二次函數在閉區間上求最值，通常從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區間；開口向上，對稱軸為x=0，故在對稱軸處取最小值，在±1處取最大值．
解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
則f′（x）=2ax+b．
由
∴f（x）=ax²+（2-a）．
又∫¹f（x）dx=∫¹[ax²+（2-a）]dx
=[ax³+（2-a）x]|¹=2-a=-2，
∴a=6，∴c=-4．
從而f（x）=6x²-4．
（2）∵f（x）=6x²-4，x∈[-1，1]，
所以當x=0時f（x）_min=-4；
當x=±1時，f（x）_max=2．
點評：本題主要考查了定積分，以及函數的最值及集合意義，屬于基礎題．