Question

如圖，斜三棱柱中，側面底面ABC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側面是菱形，，E、F分別是、AB的中點．

求證：（1）；

（2）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）作，O為垂足，而，可證O為AC的中點，得，可證四邊形為平行四邊形，即，由已知可得，所以底面ABC．即底面ABC. 

（2）由于底面ABC是等邊三角形，且F是AB的中點，可知F到平面的距離等于B點到平面距離BO的一半，而BO=,又三棱錐的體積等于三棱錐F-EA₁C的體積,求出三角形EA₁C的面積，最后根據棱錐的體積公式求解即可.

試題解析：證明：（1） 在平面內，作，O為垂足．

因為，所以，即O為AC的中點，所以.        3分

因而．因為側面⊥底面ABC，交線為AC，，所以底面ABC．

所以底面ABC.                 6分

（2）F到平面的距離等于B點到平面距離BO的一半，而BO=.               8分

所以.          12分

考點：平面與平面垂直的性質、直線與平面垂直的判定以及棱錐的體積.