Question

【題目】設△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c．向量 =（a， b）， =（sinB，﹣cosA），且 ⊥ ．
（1）求A的大��；
（2）若| |= ，求cosC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ⊥ ，

∴ =asinB﹣ bcosA=0，

由正弦定理知，

sinAsinB﹣ sinBcosA=0；

又sinB≠0，

∴tanA= ；

∵A∈（0，π），

∴A=

（2）解：∵| |= = ，

∴sin2B+ = ，

解得sin2B= ；

由B∈（0，π），

∴sinB= ；

當B為銳角時，cosB= = ，

cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣ × + × = ；

當B為鈍角時，cosB=﹣ ，

cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣ ×（﹣ ）+ × = ；

綜上，cosC的值為 或

【解析】（1）利用x1x2+y1y2=0將用坐標表示，根據正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB將邊轉化為角；（2）根據=將用坐標表示可求出sinB，然后利用兩角和的余弦即可求解.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．