Question

2010年上海世博會組委會為保證游客參觀的順利進行，對每天在各時間段進入園區和離開園區的人數（以百人為計數單位）作了一個模擬預測．為了方便起見，以10分鐘為一個計算單位，上午9點10分作為第一個計數人數的時間，即n=1；9點20分作為第二個計數人數的時間，即n=2；依此類推…，把一天內從上午9點到晚上24點分成了90個計數單位．第n個時刻進入園區的人數f（n）和時間n（n∈N^*）滿足以下關系：
，n∈N^*
第n個時刻離開園區的人數g（n）和時間n（n∈N^*）滿足以下關系：
，n∈N^*．
（Ⅰ）試計算在當天下午3點整（即15點整）時，世博園區內共有游客多少百人？（提示：，結果僅保留整數）
（Ⅱ）問：當天什么時刻世博園區內游客總人數最多？

Answer 1

【答案】分析：（I）欲計算在當天下午3點整（即15點整）時，世博園區內共有游客多少百人，先求出下午3點整進入的游客總人數和離開的游客總人數，最后求出它們的差即可；
（II）經分析知，只有當當37≤n≤72時，世博園區內游客總人數才可能最多，在此時間段內，令-3n+216=5n-120得到的n值即為所求．
解答：解：（Ⅰ）當0≤n≤24且n∈N^*時，f（n）=36，當25≤n≤36且n∈N^*時，
所以S₃₆=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（24）]+…+[f（25）+f（26）+…+f（36）]
=36×24+36×
=864+792=1656；（2分）
另一方面，已經離開的游客總人數是：T₁₂=g（25）+g（26）+…+g（36）=12×5=390；（4分）
所以S=S₃₆-T₁₂=1656-390=1266（百人）
故當天下午3點整（即15點整）時，世博園區內共有游客1266百人．（6分）

（Ⅱ）當f（n）-g（n）≥0時園內游客人數遞增；當f（n）-g（n）＜0時園內游客人數遞減．
（i）當1≤n≤24時，園區人數越來越多，人數不是最多的時間；（8分）
（ii）當25≤n≤36時，令5n-120≤36，得出n≤31，
即當25≤n≤31時，進入園區人數多于離開人數，總人數越來越多；（10分）
（iii）當32≤n≤36時，，進入園區人數多于離開人數，
總人數越來越多；（12分）
（Ⅳ）當37≤n≤72時，令-3n+216=5n-120時，n=42，
即在下午4點整時，園區人數達到最多．
此后離開人數越來越多，故園區內人數最多的時間是下午4點整．（14分）．
答：（Ⅰ）當天下午3點整（即15點整）時，世博園區內共有游客1266百人；
（Ⅱ）在下午4點整時，園區人數達到最多．
點評：本題主要考查了函數的應用問題、指數函數及其不等式等知識，屬于中檔題．