Question

下列幾種說法正確的是

①③⑤

（將你認為正確的序號全部填在橫線上）
①函數y=cos(

π

4

-3x)的遞增區間是[-

π

4

+

2kπ

3

，

π

12

+

2kπ

3

]，k∈Z；
②函數f（x）=5sin（2x+?），若f（a）=5，則f(a+

π

12

)＜f(a+

5π

6

)；
③函數f(x)=3tan(2x-

π

3

)的圖象關于點(

5π

12

，0)對稱；
④將函數y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin2x的圖象；
⑤在同一平面直角坐標系中，函數y=sin(

x

2

+

3π

2

)(x∈[0，2π])的圖象和直線y=

1

2

的交點個數是1個．

Answer 1

分析：對于①，函數的解析式即y=cos（3x-

π

4

），由 2kπ-π≤3x-

π

4

≤2kπ，k∈z，求得它的增區間，比較可得①正確．
對于②，由于x=a 是函數的對稱軸，且函數的周期等于π，可得 f(a+

π

12

)＞f(a+

5π

6

)，故②不正確．
對于③，由于點(

5π

12

，0)在函數圖象上，結合圖象可得函數圖象關于點(

5π

12

，0)對稱，故③正確．
對于④將函數y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin(2x-

π

3

) 的圖象，故④不正確．
對于⑤由y=sin(

x

2

+

3π

2

)=-cos

x

2

，畫出y=-cos

x

2

，x∈[0，2π]的圖象，顯然圖象和y=

1

2

 只有1個交點，
故⑤正確．

解答：解：對于①函數y=cos(

π

4

-3x)=cos（3x-

π

4

），由 2kπ-π≤3x-

π

4

≤2kπ，k∈z，
解得 -

π

4

+

2kπ

3

≤x ≤

π

12

+

2kπ

3

，k∈z．
故函數的遞增區間是 [-

π

4

+

2kπ

3

，

π

12

+

2kπ

3

]  ，k∈Z，故①正確．
對于②函數f（x）=5sin（2x+?），若f（a）=5，故x=a 是函數的對稱軸，且函數的周期等于π，
故函數在[a-

π

2

，a+

π

2

]上是單調增函數．
∵f(a+

π

12

)=f(a-

π

12

)，f(a+

5π

6

) =f(a-

π

6

)，a-

π

6

＜a-

π

12

，
∴f（ a-

π

6

 ）＜f（ a-

π

12

 ），即 f(a+

π

12

)＞f(a+

5π

6

)，故②不正確．
對于③函數f(x)=3tan(2x-

π

3

)，由于點(

5π

12

，0)在圖象上，結合圖象可得函數圖象關于點(

5π

12

，0)對稱，
故③正確．
對于④將函數y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數y=sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=sin(2x-

π

3

) 的圖象，
故④不正確．
對于⑤∵y=sin(

x

2

+

3π

2

)=-cos

x

2

，x∈[0，2π]，畫出y=-cos

x

2

，x∈[0，2π]的圖象，顯然圖象和y=

1

2

 
只有1個交點，故⑤正確．
故答案為：①③⑤．

點評：本題主要考查三角函數的對稱性和單調性，以及函數圖象的變換，三角函數的內容比較瑣碎，要記憶的比較多，平時要注意公式的記憶和基礎知識的積累，掌握基本知識是解好這類題目的關鍵．