Question

已知a,b都是正數，并且a≠b，求證：a⁵+b⁵＞a²b³+a³b².

Answer 1

思路分析：證明不等式時，作差比較是最基本的方法，關鍵在于提取公因式分解因式，對于立方和、立方差、平方差的分解要能熟練運用，通過判斷每個因式的符號確定差的符號.

證明：(a⁵+b⁵)-(a²b³+a³b²)=(a⁵-a³b²)+(b⁵-a²b³)

=a³(a²-b²)-b³(a²-b²)=(a²-b²)(a³-b³)

=(a+b)(a-b)²(a²+ab+b²).

∵a,b都是正數，∴a+b,a²+ab+b²＞0.

又∵a≠b，∴(a-b)²＞0，∴(a+b)(a-b)²(a²+ab+b²)＞0,

即a⁵+b⁵＞a²b³+a³b².