Question

已知：斜邊為AB的Rt△ABC，過點A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分別為PB，PC邊上的垂足，
（1）求證：EF⊥PB
（2）求：若PA=AB=2，∠BPC=θ，則θ為何值時，△AEF的面積有最大值？最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）由題意可得：PA⊥BC，可得BC⊥平面PAC，即BC⊥AF，由題中的條件可得AF⊥平面PBC，可得AF⊥PB，再結合AE⊥PB，線面垂直的判定定理得到線面垂直進而得到線線垂直．
（2）由題中條件可得：PB=2

2

，PE=BE=

2

．由（1）可得：AF⊥EF，PB⊥EF，進而得到EF=

2

tanθ，AF=

2-2tan2

θ，即可得到S△AEF=

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

，再利用二次函數的性質求出面積的最大值．

解答：解：（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC．
∴PA⊥BC，
又AB為斜邊，
∴BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
又∵AF?平面ACP，
∴BC⊥AF，
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，
又∵AE⊥PB，AE∩AF=A，AE?平面AEF，AF?平面AEF，
∴PB⊥平面AEF，
∴PB⊥EF．（4分）
（2）在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2

2

，
∵PA⊥AB，∴AE=

1

2

PB=

2

，∴PE=BE=

2

．
由（1）可得：AF⊥平面PBC，∴AF⊥EF．
∵∠BPC=θ，PB⊥EF，
∴EF=

2

tanθ，
∴AF=

AE2-EF2

=

( 2 )2-2tan2θ

=

2-2tan2

θ，
∴S△AEF=

1

2

AF•EF=

1

2

•

2

•

1-tan2θ

•

2

tanθ=

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

．
∴當tan²θ=

1

2

，即tanθ=

2

2

時，S_△AEF有最大值為

1

2

，
∴當tanθ=

2

2

時，S_△AEF面積最大，最大值為

1

2

．

點評：本題主要考查空間中線面垂直與線線垂直之間的相互轉化，解決此類問題的關鍵是熟練掌握線面垂直的判定定理與性質定理，本題還考查了三角形的面積公式與二次函數的有關性質等知識點，此題屬于中檔題，考查學生的空間想象能力與邏輯推理能力．