Question

已知函數f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
（I）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（II）若a=4，證明：函數f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（I）求函數的定義域，利用奇偶性的定義去證明．
（II）設兩個變量，利用單調性的定義證明函數的單調性．

解答：解：（I）因為函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，
又f(-x)=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

)=-f(x)，
所以函數f（x）是奇函數．
（II）當a=4時，f(x)=x+

4

x

，
設x₁，x₂是區(qū)間（2，+∞）上的任意兩個變量，且2＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
因為2＜x₁＜x₂，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的證明和判斷，要求熟練掌握利用定義法去證明和判斷．