Question

【題目】設函數,曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2.

(1)求 (2)證明:

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）根據求導法則求出原函數的導函數，由某點的導數是在該點的切線的斜率，結合切線方程以及該點的函數值，將函數值和切線斜率代入原函數和導函數可求得參數值；（2）由（1 )可得的解析式， 為多項式，對要證的不等式進行變形，使之成為兩個函數的大小關系式，再分別利用導函數求出兩函數在定義域內的最值，可證得兩函數的大小關系，進而證得.

試題解析：（1）函數的定義域為，

.

由題意可得， .故， .

（2）證明：由（1）知， ，

從而等價于.

設函數，則.

所以當， ；

當時， .

故在上單調遞減， 上單調遞增，從而在上的最小值為.

設函數，則.

所以當時， ；當時， .故在上單調遞增，在上單調遞減，從而在上的最大值為.

綜上，當時， ，即.