Question

（2013•烏魯木齊一模）已知點F（ 1，0），⊙F與直線4x+3y+1=0相切，動圓M與⊙F及y軸都相切．
（I ）求點M的軌跡C的方程；
（II）過點F任作直線l，交曲線C于A，B兩點，由點A，B分別向⊙F各引一條切線，切點 分別為P，Q，記α=∠PAF，β=∠QBF．求證sinα+sinβ是定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點到直線的距離公式及切線的性質、圓的標準方程即可得到⊙F的方程；動圓M與⊙F及y軸都相切分切點不是原點、切點是原點兩種情況分別求出即可：
（Ⅱ）對直線l的斜率分存在和不存在兩種情況：把直線的方程與拋物線的方程聯立，利用根與系數的關系及拋物線的定義即可得出．

解答：解：（Ⅰ）⊙F的半徑r

|4+1|

42+32

=1，∴⊙F的方程為（x-1）²+y²=1，
由題意動圓M與⊙F及y軸都相切，分以下情況：
（1）動圓M與⊙F及y軸都相切，但切點不是原點的情況：
作MH⊥y軸于H，則|MF|-1=|MH|，即|MF|=|MH|+1，
過M作直線x=-1的垂線MN，N為垂足，
則|MF|=|MN|，
∴點M的軌跡是以F為焦點，x=-1為準線的拋物線，
∴點M的軌跡C的方程為y²=4x（x≠0）；
（2）動圓M與⊙F及y軸都相切且僅切于原點的情況：
此時點M的軌跡C的方程為y=0（x≠0，1）；             
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中（1）的情況：
當l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1），
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=2k2+4，x₁x₂=1，
∴sinα+sinβ=

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+x1+x2+1

=1．
當l與x軸垂直時，也可得sinα+sinβ=1，
對于（Ⅰ）中（2）的情況不符合題意（即作直線l，交C于一個點或無數個點，而非兩個交點）．
綜上，有sinα+sinβ=1．

點評：熟練掌握點到直線的距離公式、圓的標準方程及切線的性質、分類討論的思想方法、直線的方程與拋物線的方程聯立并利用根與系數的關系及拋物線的定義是解題的關鍵．