Question

定義在R上的奇函數f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）時，f（x）=

3x

9x+1

，
（1）判斷f（x）在（0，2）上的單調性，并給予證明；
（2）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（3）當λ為何值時，關于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數解？

Answer 1

分析：（1）設0＜x₁＜x₂＜2，利用定義法能夠判斷f（x）在（0，2）上的單調性，并給予證明．
（2）當-2＜x＜0時，0＜-x＜2，f（-x）=

3-x

9-x+1

=

3x

9x+1

，由f（x）為奇函數，知f（x）=-f（x）=-

3x

1+9x

，由此能求出f（x）在[-2，2]上的解析式．
（3）求關于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數解，即求函數f（x）在[-2，2]上的值域，由此進行等價轉化能求出結果．

解答：解：（1）設0＜x₁＜x₂＜2，
則3x1-3x2＜0，1-3x1+x2＜0，(9x1+1)(9x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（0，2）上為減函數．…（4分）
（2）當-2＜x＜0時，0＜-x＜2，f（-x）=

3-x

9-x+1

=

3x

9x+1

，
又f（x）為奇函數，∴f（x）=-f（x）=-

3x

1+9x

，…（7分）
當x=0時，由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，…（8分）
∵f（x）有最小正周期4，
∴f（-2）=f（-2+4）=f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，…（9分）
綜上，f(x)=

3x 9x+1 ，0＜x＜2 0，x∈{-2，0，2} - 3x 9x+1 ，-2＜x＜0

…（10分）
（3）求關于方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數解，即求函數f（x）在[-2，2]上的值域．
當x∈（0，2）時，由（1）知，f（x）在（0，2）上為減函數，
∴

9

82

=f(2)＜f(x)＜f(0)=

1

2

，
當x∈（-2，0）時，0＜-x＜2，∴

9

82

＜f(-x)＜

1

2

，
f（x）=-f（-x）∈（-

1

2

，-

9

82

）．
當x∈{-2，0，2}時，f（x）=0，
∴f（x）的值域為（-

1

2

，-

9

82

）∪{0}∪（

9

82

，

1

2

），
∴λ∈（-

1

2

，-

9

82

）∪{0}∪（

9

82

，

1

2

）時方程方程f（x）=λ在[-2，2]上有實數解．…（14分）

點評：本題考查函數的單調性的證明，考查函數解析式的求法，考查函數的實數解時的條件．綜合性強，難度大，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答．