Question

已知曲線C上的任意一點到定點F（1，0）的距離與到定直線x=-1的距離相等．
（Ⅰ） 求曲線C的方程；
（Ⅱ）若曲線C上有兩個定點A、B分別在其對稱軸的上、下兩側，且|FA|=2，|FB|=5，求原點O到直線AB的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意可得曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點的拋物線，從而可求曲線C的方程；（2）由題意易得點AB的坐標，進而可得直線AB的方程，由距離公式可得答案．

解答：解：（1）∵曲線C上任意一點到點F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等．
∴曲線C的軌跡是以F（1，0）為焦點的拋物線，且

p

2

=1，
∴曲線C的方程為y²=4x；
（2）由拋物線的定義結合|FA|=2可得，A到準線x=-1的距離為2，
即A的橫坐標為1，代入拋物線方程可得y=2，即A（1，2），
同理可得B（4，-4），故直線AB的斜率k=

2-(-4)

1-4

=-2，
故AB的方程為y-2=-2（x-1），即2x+y-4=0，
由點到直線的距離公式可得：原點O到直線AB的距離為

|-4|

22+12

=

4 5

5

點評：本題考查軌跡方程的求法，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義，屬基礎題．