Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁(－l，0)和F₂(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠F₁PF₂＝2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ＝λ．

(1)證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線(xiàn)，并求出C的方程；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)F₂的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的右支交于A、B兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在λ，使△F₁AB是以點(diǎn)B為直角定點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）在中， 　　 　　 　　（小于的常數(shù)） 　　故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)． 　　方程為; 　　（2）方法一：在中，設(shè)，，，． 　　假設(shè)為等腰直角三角形，則 　　 　　由②與③得， 　　則 　　由⑤得， 　　 　　， 　　 　　故存在滿(mǎn)足題設(shè)條件． 　　方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得 　　 　　所以，． 　　則．① 　　由，可設(shè)， 　　則，． 　　則．② 　　由①②得．③ 　　根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可得，． 　　平方得：．④ 　　由③④消去可解得， 　　故存在滿(mǎn)足題設(shè)條件．