Question

已知函數f（x）=lnx+b•x²的圖象過點（1，0）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(x)≥

t

x

-1nx(t為實數）恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）當m＞0時，討論F(x)=f(x)+

x2

2

-

m2+1

m

x在區間（0，2）上極值點的個數．

Answer 1

分析：（I）帶點可得b=0，進而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）f(x)≥

t

x

-1nx恒成立，即lnx≥

t

x

-1nx，由x＞0可得t≤2xlnx，構造函數h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h_min（x）即可，求導數可得其最小值；
（Ⅲ）可得F(x)=lnx+

x2

2

-

m2+1

m

x，求導數，令其為0可得x=m，或x=

1

m

，分（1）m=

1

m

（2）

0＜m＜2 0＜ 1 m ＜2

，且m＜

1

m

，（3）

0＜m＜2 1 m ＞2

，或

m＞2 0＜ 1 m ＜2

三種情況討論．

解答：解：（I）∵函數f（x）=1nx+b•x²的圖象過點（1，0），
∴0=ln1+b•1²，解得b=0，∴f（x）的解析式為f（x）=1nx；
（Ⅱ）f(x)≥

t

x

-1nx恒成立，即lnx≥

t

x

-1nx，由x＞0可得t≤2xlnx，
構造函數h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h_min（x）即可，
可得h′（x）=2（lnx-1），故當x∈（0，

1

e

）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數，
當x∈（

1

e

，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數，
故h_min（x）=h（

1

e

）=-

2

e

，故t≤-

2

e

；
（Ⅲ）由（I）知，f（x）=1nx，F(x)=lnx+

x2

2

-

m2+1

m

x，（x＞0）
∴F′(x)=

1

x

+x-

m2+1

m

=

(x-m)(x- 1 m )

x

，令其為0可得x=m，或x=

1

m

，
（1）當m=

1

m

時，m=1，F′（x）＞0，函數在（0，2）為增函數，無極值點；
（2）當

0＜m＜2 0＜ 1 m ＜2

，且m＜

1

m

，即

1

2

＜m＜1時，可知函數有兩個極值點；
（3）當

0＜m＜2 1 m ＞2

，或

m＞2 0＜ 1 m ＜2

，即0＜m＜

1

2

，或m＞2時，可知函數有一個極值點．

點評：本題考查函數取極值點的條件，涉及函數恒成立問題和分類討論的思想，屬中檔題．